Fuzzy Decision Support-Systeme: Entscheiden bei Unschärfe by Heinrich Rommelfanger

By Heinrich Rommelfanger

Dieses Buch vermittelt einen gründlichen Einblick in den aktuellen Stand der Fuzzy-Entscheidungstheorie und der linearen Fuzzy-Optimierung. Nach einer auch für Nicht-Mathematiker leicht lesbaren Einführung in die Theorie unscharfer Mengen werden nicht nur die verschiedensten Entscheidungs- und Optimierungsmodelle in einer Gesamtkonzeption dargestellt, sie werden auch kritisch auf ihre Anwendbarkeit hin überprüft. Der Teil A des Buches ist Alternativentscheidungen gewidmet. Im Teil B werden recheneffiziente Methoden zum Lösen von linearen Programmierungs- und linearen Vektoroptimierungssystemen behandelt.

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Eine Verbindung zwischen der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie und unscharfen Ereignissen wurde erstmals von ZADEH [1968] konstruiert und dann später von SMETS [1982] axiomatisch begründet. J (0) --+ [0, 1]. Eine unscharfe Menge Ä = {(x, IlA(x)) I x E n} heißt dann Fuzzy-Ereignis in n, wenn A. Sei (0, der ihre Zugehörigkeitsfunktion IlA(x) BOREL-meßbar ist. Die Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses Ä ist dann definiert als P(Ä) = L IlA (x)· P({x}). ) B. Sei (Rn ,L, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der Ergebnismenge Rn , der BORELschen cr-A1gebra L auf Rn und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P :L --+ [0, 1].

M unscharfe Mengen auf X. 1i(x» x EX}. 33) und einem beliebigen Kompensationsparameter y E [0, 1]. 33) ~ ~ \;j i = 1.... 1. 1. 1i (x) i=1 i=! 1. y(x)-Wert läßt sich dann fiir diesen x-Wert der bei der Verknüpfung angewandte Kompensationsgrad y(x) berechnen. 34) die speziellen Kompensationsgrade y(x) zu berechnen und anschließend über Xo zu mitteln: Y= 1 -I-I LY(X). 24: Seien Ä und B unscharfe Mengen auf X. 22 > Für die Mengen Ä und Ä 110,3 E [0, 1]. 14 > erhält man fiir &=0,3 • B = {(3; 0,3), (4, 0,3), (5; 0,34), (6; 0,59), (7; 0,58), (8; 0,31), (9; O)}.

37 lediglich, daß Möglichkeitswerte ordinal skaliert sind. Dies reicht zum Vergleich zweier Möglichkeitswerte aus, während Wahrscheinlichkeitswerte addiert werden müssen. 40 > Fur die Aussage "Hans ißt x Eier zum Fruhstuck" laßt sich sowohl eine Moglichkeits- als auch eine Wahrscheinlichkeitsaussage auf der Menge X = {I ,2, } formulieren Die Moglichkeit IT({x}) kann dabei interpretiert und dann subjektiv geschatzt werden als der Grad der Leichtigkeit, mit dem Hans x Eier ißt Dagegen laßt sich die WahrscheinlichkeIt P({x}) zum Beispiel dadurch bestimmen, indem man Hans 100 Tage lang beim Fruhstuck beobachtet Die Tabelle 1 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IT({x}) P({x}} I 0,1 1 0,8 1 0,1 1 0 0,8 0 0,6 0 0,4 0 0,2 0 0 0 Tab.

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